Løs 18x^2+33x=180

$$18 { x }^{ 2 } +33x=180$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{12} \approx 2,375791044$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}\approx -4,209124378$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$18x^{2}+33x=180$$

Subtraher 180 fra begge sider af ligningen.

$$18x^{2}+33x-180=180-180$$

Hvis 180 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$18x^{2}+33x-180=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 18 med a, 33 med b og -180 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Kvadrér 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Multiplicer -4 gange 18.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-72\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Multiplicer -72 gange -180.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 18}$$

Adder 1089 til 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 18}$$

Tag kvadratroden af 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 18}$$

Multiplicer 2 gange 18.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36} når ± er plus. Adder -33 til 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Divider -33+3\sqrt{1561} med 36.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36} når ± er minus. Subtraher 3\sqrt{1561} fra -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Divider -33-3\sqrt{1561} med 36.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$18x^{2}+33x=180$$

Divider begge sider med 18.

$$\frac{18x^{2}+33x}{18}=\frac{180}{18}$$

Division med 18 annullerer multiplikationen med 18.

$$x^{2}+\frac{33}{18}x=\frac{180}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{33}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{180}{18}$$

Divider 180 med 18.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=10$$

Divider \frac{11}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{11}{12}. Adder derefter kvadratet af \frac{11}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=10+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{11}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=10+\frac{121}{144}$$

Adder 10 til \frac{121}{144}.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{1561}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{1561}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{144}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{\sqrt{1561}}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{\sqrt{1561}}{12}$$

Subtraher \frac{11}{12} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$