Løs 15x^2-97x+1=0

$$15 x ^ { 2 } - 97 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{9349} + 97}{30} \approx 6,4563409$$

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}\approx 0,010325766$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 15 med a, -97 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{\left(-97\right)^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Kvadrér -97.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-4\times 15}}{2\times 15}$$

Multiplicer -4 gange 15.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-60}}{2\times 15}$$

Adder 9409 til -60.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

Det modsatte af -97 er 97.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

Multiplicer 2 gange 15.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30} når ± er plus. Adder 97 til \sqrt{9349}.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30} når ± er minus. Subtraher \sqrt{9349} fra 97.

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$15x^{2}-97x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$15x^{2}-97x=-1$$

Divider begge sider med 15.

$$\frac{15x^{2}-97x}{15}=-\frac{1}{15}$$

Division med 15 annullerer multiplikationen med 15.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x=-\frac{1}{15}$$

Divider -\frac{97}{15}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{97}{30}. Adder derefter kvadratet af -\frac{97}{30} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{97}{30} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=-\frac{1}{15}+\frac{9409}{900}$$

Føj -\frac{1}{15} til \frac{9409}{900} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=\frac{9349}{900}$$

Faktor x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}=\frac{9349}{900}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9349}{900}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{97}{30}=\frac{\sqrt{9349}}{30} x-\frac{97}{30}=-\frac{\sqrt{9349}}{30}$$

Adder \frac{97}{30} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$