Løs 13a^2-12a-9=0

$$13 a ^ { 2 } - 12 a - 9 = 0$$

Løs for a

$$a = \frac{3 \sqrt{17} + 6}{13} \approx 1,413024375$$

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}\approx -0,489947452$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 13 med a, -12 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Kvadrér -12.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Multiplicer -4 gange 13.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-52\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Multiplicer -52 gange -9.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+468}}{2\times 13}$$

Adder 144 til 468.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{612}}{2\times 13}$$

Tag kvadratroden af 612.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

Multiplicer 2 gange 13.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} når ± er plus. Adder 12 til 6\sqrt{17}.

$$a=\frac{6\sqrt{17}+12}{26}$$

Divider 12+6\sqrt{17} med 26.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{17} fra 12.

$$a=\frac{12-6\sqrt{17}}{26}$$

Divider 12-6\sqrt{17} med 26.

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

Ligningen er nu løst.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$13a^{2}-12a-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$13a^{2}-12a=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$13a^{2}-12a=9$$

Divider begge sider med 13.

$$\frac{13a^{2}-12a}{13}=\frac{9}{13}$$

Division med 13 annullerer multiplikationen med 13.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a=\frac{9}{13}$$

Divider -\frac{12}{13}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{6}{13}. Adder derefter kvadratet af -\frac{6}{13} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{9}{13}+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{6}{13} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{9}{13}+\frac{36}{169}$$

Føj \frac{9}{13} til \frac{36}{169} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{153}{169}$$

Faktor a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{153}{169}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{169}}$$

Forenkling.

$$a-\frac{6}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13} a-\frac{6}{13}=-\frac{3\sqrt{17}}{13}$$

Adder \frac{6}{13} på begge sider af ligningen.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$