Løs 128-32x+2x^2=0

$$128 - 32 x + 2 x ^ { 2 } = 0$$

Løs for x

$$x=8$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 2.

$$64-16x+x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$x^{2}-16x+64=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx+64. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-16 ab=1\times 64=64$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 64.

$$-1,-64 -2,-32 -4,-16 -8,-8$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-64=-65 -2-32=-34 -4-16=-20 -8-8=-16$$

Løsningen er det par, der får summen -16.

$$a=-8 b=-8$$

Omskriv x^{2}-16x+64 som \left(x^{2}-8x\right)+\left(-8x+64\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(-8x+64\right)$$

Udx i den første og -8 i den anden gruppe.

$$x\left(x-8\right)-8\left(x-8\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-8 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-8\right)\left(x-8\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(x-8\right)^{2}$$

For at finde Ligningsløsningen skal du løse x-8=0.

$$x=8$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-32x+128=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -32 med b og 128 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 2\times 128}}{2\times 2}$$

Kvadrér -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 2\times 128}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-8\times 128}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 128.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 2}$$

Adder 1024 til -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 2}$$

Det modsatte af -32 er 32.

$$x=\frac{32}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{32}{4}$$

Divider 32 med 4.

$$x=8$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-32x+128=0$$

Subtraher 128 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-32x+128-128=-128$$

Hvis 128 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-32x=-128$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-32x}{2}=-\frac{128}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{2}\right)x=-\frac{128}{2}$$

Divider -32 med 2.

$$x^{2}-16x=-\frac{128}{2}$$

Divider -128 med 2.

$$x^{2}-16x=-64$$

Divider -16, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -8. Adder derefter kvadratet af -8 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-64+\left(-8\right)^{2}$$

Kvadrér -8.

$$x^{2}-16x+64=-64+64$$

Adder -64 til 64.

$$x^{2}-16x+64=0$$

Faktor x^{2}-16x+64. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-8\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-8=0 x-8=0$$

Adder 8 på begge sider af ligningen.

$$x=8 x=8$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=8$$