Løs 12x^2+17x-7=0

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 12x^{2}+ax+bx-7. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Løsningen er det par, der får summen 17.

$$a=-4 b=21$$

Omskriv 12x^{2}+17x-7 som \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

Ud4x i den første og 7 i den anden gruppe.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Løs 3x-1=0 og 4x+7=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 12 med a, 17 med b og -7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrér 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicer -4 gange 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicer -48 gange -7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

Adder 289 til 336.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Tag kvadratroden af 625.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

Multiplicer 2 gange 12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-17±25}{24} når ± er plus. Adder -17 til 25.

$$x=\frac{8}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{8}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-17±25}{24} når ± er minus. Subtraher 25 fra -17.

$$x=-\frac{42}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{-42}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Hvis -7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

Subtraher -7 fra 0.

$$12x^{2}+17x=7$$

Divider begge sider med 12.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

Division med 12 annullerer multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

Divider \frac{17}{12}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{17}{24}. Adder derefter kvadratet af \frac{17}{24} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{17}{24} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

Føj \frac{7}{12} til \frac{289}{576} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

Faktor x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

Subtraher \frac{17}{24} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$