Løs 12x^2-102x+160=0

$$12 { x }^{ 2 } -102x+160=0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 6,424664725$$

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 2,075335275$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 12 med a, -102 med b og 160 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Kvadrér -102.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Multiplicer -4 gange 12.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-48\times 160}}{2\times 12}$$

Multiplicer -48 gange 160.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-7680}}{2\times 12}$$

Adder 10404 til -7680.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{2724}}{2\times 12}$$

Tag kvadratroden af 2724.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Det modsatte af -102 er 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Multiplicer 2 gange 12.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} når ± er plus. Adder 102 til 2\sqrt{681}.

$$x=\frac{2\sqrt{681}+102}{24}$$

Divider 102+2\sqrt{681} med 24.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{681} fra 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{681}}{24}$$

Divider 102-2\sqrt{681} med 24.

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Subtraher 160 fra begge sider af ligningen.

$$12x^{2}-102x+160-160=-160$$

Hvis 160 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$12x^{2}-102x=-160$$

Divider begge sider med 12.

$$\frac{12x^{2}-102x}{12}=-\frac{160}{12}$$

Division med 12 annullerer multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{12}\right)x=-\frac{160}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-102}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{160}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-160}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{40}{3}$$

Divider -\frac{17}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{17}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{17}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{17}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{40}{3}+\frac{289}{16}$$

Føj -\frac{40}{3} til \frac{289}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{227}{48}$$

Faktor x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{227}{48}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{227}{48}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{681}}{12} x-\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{681}}{12}$$

Adder \frac{17}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$