Løs 12x^2-12^2x+9>0

$$12 { x }^{ 2 } - { 12 }^{ 2 } x+9 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\cup \left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6,\infty\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Beregn 12 til potensen af 2, og få 144.

$$12x^{2}-144x+9>0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-144x+9=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 12 med a, -144 med b, og 9 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-144\right)±\sqrt{\left(-144\right)^{2}-4\times 12\times 9}}{2\times 12}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24}$$

Løs ligningen x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{141}}{2}+6 x=-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$12\left(x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)>0$$

For at produktet bliver positivt, skal x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) begge være negative eller begge være positive. Overvej sagen, når x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) begge er negative.

$$x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0 x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Overvej sagen, når x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) begge er positive.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\text{; }x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$