Løs 10x^2-x+3=0

$$10 x ^ { 2 } - x + 3 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}\approx 0,05+0,545435606i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}\approx 0,05-0,545435606i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$10x^{2}-x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 10 med a, -1 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 10\times 3}}{2\times 10}$$

Multiplicer -4 gange 10.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-40\times 3}}{2\times 10}$$

Multiplicer -40 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-120}}{2\times 10}$$

Adder 1 til -120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-119}}{2\times 10}$$

Tag kvadratroden af -119.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

Multiplicer 2 gange 10.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20} når ± er plus. Adder 1 til i\sqrt{119}.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{119} fra 1.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$10x^{2}-x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$10x^{2}-x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$10x^{2}-x=-3$$

Divider begge sider med 10.

$$\frac{10x^{2}-x}{10}=-\frac{3}{10}$$

Division med 10 annullerer multiplikationen med 10.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x=-\frac{3}{10}$$

Divider -\frac{1}{10}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{20}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{20} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{3}{10}+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{20} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{3}{10}+\frac{1}{400}$$

Føj -\frac{3}{10} til \frac{1}{400} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{119}{400}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{119}{400}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{400}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{20}=\frac{\sqrt{119}i}{20} x-\frac{1}{20}=-\frac{\sqrt{119}i}{20}$$

Adder \frac{1}{20} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$