Løs -4x^2+10x+10=0

$$-4 { x }^{ 2 } +10x+10=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 5}{4} \approx 3,265564437$$

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}\approx -0,765564437$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4x^{2}+10x+10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, 10 med b og 10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-4\right)\times 10}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-4\right)\times 10}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+16\times 10}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 16 gange 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+160}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 100 til 160.

$$x=\frac{-10±\sqrt{260}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af 260.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{65}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{65}}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±2\sqrt{65}}{-8} når ± er plus. Adder -10 til 2\sqrt{65}.

$$x=\frac{2\sqrt{65}-10}{-8}$$

Divider -10+2\sqrt{65} med -8.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±2\sqrt{65}}{-8} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{65} fra -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}-10}{-8}$$

Divider -10-2\sqrt{65} med -8.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4} x=\frac{\sqrt{65}+5}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4x^{2}+10x+10=0$$

Subtraher 10 fra begge sider af ligningen.

$$-4x^{2}+10x+10-10=-10$$

Hvis 10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-4x^{2}+10x=-10$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4x^{2}+10x}{-4}=-\frac{10}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\frac{10}{-4}x=-\frac{10}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{10}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{-10}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}$$

Divider -\frac{5}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{5}{2}+\frac{25}{16}$$

Føj \frac{5}{2} til \frac{25}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{65}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{65}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{65}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{65}}{4}$$

Adder \frac{5}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}$$