Løs -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Løs for x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9,722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4,388670163$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 16 med b og 128 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 256 til 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} når ± er plus. Adder -16 til 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Divider -16+16\sqrt{7} med -6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} når ± er minus. Subtraher 16\sqrt{7} fra -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Divider -16-16\sqrt{7} med -6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Subtraher 128 fra begge sider af ligningen.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

Hvis 128 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

Divider 16 med -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

Divider -128 med -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Divider -\frac{16}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{8}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{8}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{8}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

Føj \frac{128}{3} til \frac{64}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Adder \frac{8}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$