Løs -x^2+14x=-11

$$- x ^ { 2 } + 14 x = - 11$$

Løs for x

$$x=2\sqrt{15}+7\approx 14,745966692$$

$$x=7-2\sqrt{15}\approx -0,745966692$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+14x=-11$$

Adder 11 på begge sider af ligningen.

$$-x^{2}+14x-\left(-11\right)=-11-\left(-11\right)$$

Hvis -11 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-x^{2}+14x-\left(-11\right)=0$$

Subtraher -11 fra 0.

$$-x^{2}+14x+11=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 14 med b og 11 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 11.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+44}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 196 til 44.

$$x=\frac{-14±\sqrt{240}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 240.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2} når ± er plus. Adder -14 til 4\sqrt{15}.

$$x=\frac{4\sqrt{15}-14}{-2}$$

Divider -14+4\sqrt{15} med -2.

$$x=7-2\sqrt{15}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{15} fra -14.

$$x=\frac{-4\sqrt{15}-14}{-2}$$

Divider -14-4\sqrt{15} med -2.

$$x=2\sqrt{15}+7$$

Ligningen er nu løst.

$$x=7-2\sqrt{15} x=2\sqrt{15}+7$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+14x=-11$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

Divider 14 med -1.

$$x^{2}-14x=-\frac{11}{-1}$$

Divider -11 med -1.

$$x^{2}-14x=11$$

Divider -14, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -7. Adder derefter kvadratet af -7 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=11+\left(-7\right)^{2}$$

Kvadrér -7.

$$x^{2}-14x+49=11+49$$

Adder 11 til 49.

$$x^{2}-14x+49=60$$

Faktor x^{2}-14x+49. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-7\right)^{2}=60$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{60}$$

Forenkling.

$$x-7=2\sqrt{15} x-7=-2\sqrt{15}$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$x=2\sqrt{15}+7 x=7-2\sqrt{15}$$