Løs -7x^2+5x-4=0

$$- 7 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}\approx 0,357142857-0,666241361i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}\approx 0,357142857+0,666241361i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -7 med a, 5 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Multiplicer -4 gange -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+28\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Multiplicer 28 gange -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-112}}{2\left(-7\right)}$$

Adder 25 til -112.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-87}}{2\left(-7\right)}$$

Tag kvadratroden af -87.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{2\left(-7\right)}$$

Multiplicer 2 gange -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14} når ± er plus. Adder -5 til i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{87}i}{-14}$$

Divider -5+i\sqrt{87} med -14.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{87} fra -5.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-5}{-14}$$

Divider -5-i\sqrt{87} med -14.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14} x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$-7x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Hvis -4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-7x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Subtraher -4 fra 0.

$$-7x^{2}+5x=4$$

Divider begge sider med -7.

$$\frac{-7x^{2}+5x}{-7}=\frac{4}{-7}$$

Division med -7 annullerer multiplikationen med -7.

$$x^{2}+\frac{5}{-7}x=\frac{4}{-7}$$

Divider 5 med -7.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=\frac{4}{-7}$$

Divider 4 med -7.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=-\frac{4}{7}$$

Divider -\frac{5}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{14}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{14} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{14} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{4}{7}+\frac{25}{196}$$

Føj -\frac{4}{7} til \frac{25}{196} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{87}{196}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{87}{196}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{196}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{87}i}{14} x-\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{87}i}{14}$$

Adder \frac{5}{14} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14} x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$