Løs (2x-3)(x+1)-(x-2)<0

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-3 med x+1, og kombiner ens led.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

For at finde det modsatte af x-2 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

Kombiner -x og -x for at få -2x.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

Tilføj -3 og 2 for at få -1.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 2 med a, -2 med b, og -1 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} er positiv og x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} er negativ.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} er positiv og x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} er negativ.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$