Løs (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 20-x med 100+20x, og kombiner ens led.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Subtraher 2240 fra begge sider.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Subtraher 2240 fra 2000 for at få -240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -20 med a, 300 med b og -240 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Kvadrér 300.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplicer -4 gange -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplicer 80 gange -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Adder 90000 til -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Tag kvadratroden af 70800.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplicer 2 gange -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} når ± er plus. Adder -300 til 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Divider -300+20\sqrt{177} med -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} når ± er minus. Subtraher 20\sqrt{177} fra -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Divider -300-20\sqrt{177} med -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 20-x med 100+20x, og kombiner ens led.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Subtraher 2000 fra begge sider.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Subtraher 2000 fra 2240 for at få 240.

$$300x-20x^{2}=240$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Divider begge sider med -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

Division med -20 annullerer multiplikationen med -20.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Divider 300 med -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Divider 240 med -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Divider -15, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Adder -12 til \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Faktor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Adder \frac{15}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$