Løs (10-x)(200+50x)=1250

$$(10-x)(200+50x)=1250$$

Løs for x

$$x=2\sqrt{6}+3\approx 7,898979486$$

$$x=3-2\sqrt{6}\approx -1,898979486$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10-x med 200+50x, og kombiner ens led.

$$2000+300x-50x^{2}=1250$$

Subtraher 1250 fra begge sider.

$$2000+300x-50x^{2}-1250=0$$

Subtraher 1250 fra 2000 for at få 750.

$$750+300x-50x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-50x^{2}+300x+750=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -50 med a, 300 med b og 750 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-50\right)\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Kvadrér 300.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-50\right)\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Multiplicer -4 gange -50.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+200\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Multiplicer 200 gange 750.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+150000}}{2\left(-50\right)}$$

Adder 90000 til 150000.

$$x=\frac{-300±\sqrt{240000}}{2\left(-50\right)}$$

Tag kvadratroden af 240000.

$$x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{2\left(-50\right)}$$

Multiplicer 2 gange -50.

$$x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100} når ± er plus. Adder -300 til 200\sqrt{6}.

$$x=\frac{200\sqrt{6}-300}{-100}$$

Divider -300+200\sqrt{6} med -100.

$$x=3-2\sqrt{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100} når ± er minus. Subtraher 200\sqrt{6} fra -300.

$$x=\frac{-200\sqrt{6}-300}{-100}$$

Divider -300-200\sqrt{6} med -100.

$$x=2\sqrt{6}+3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3-2\sqrt{6} x=2\sqrt{6}+3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10-x med 200+50x, og kombiner ens led.

$$2000+300x-50x^{2}=1250$$

Subtraher 2000 fra begge sider.

$$300x-50x^{2}=1250-2000$$

Subtraher 2000 fra 1250 for at få -750.

$$300x-50x^{2}=-750$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-50x^{2}+300x=-750$$

Divider begge sider med -50.

$$\frac{-50x^{2}+300x}{-50}=-\frac{750}{-50}$$

Division med -50 annullerer multiplikationen med -50.

$$x^{2}+\frac{300}{-50}x=-\frac{750}{-50}$$

Divider 300 med -50.

$$x^{2}-6x=-\frac{750}{-50}$$

Divider -750 med -50.

$$x^{2}-6x=15$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=15+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=15+9$$

Adder 15 til 9.

$$x^{2}-6x+9=24$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=24$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{24}$$

Forenkling.

$$x-3=2\sqrt{6} x-3=-2\sqrt{6}$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$