Løs (10+x)(800-20x)=12000

$$(10+x)(800-20x)=12000$$

Løs for x

$$x=10$$

$$x=20$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10+x med 800-20x, og kombiner ens led.

$$8000+600x-20x^{2}=12000$$

Subtraher 12000 fra begge sider.

$$8000+600x-20x^{2}-12000=0$$

Subtraher 12000 fra 8000 for at få -4000.

$$-4000+600x-20x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-20x^{2}+600x-4000=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -20 med a, 600 med b og -4000 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-600±\sqrt{600^{2}-4\left(-20\right)\left(-4000\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Kvadrér 600.

$$x=\frac{-600±\sqrt{360000-4\left(-20\right)\left(-4000\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplicer -4 gange -20.

$$x=\frac{-600±\sqrt{360000+80\left(-4000\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplicer 80 gange -4000.

$$x=\frac{-600±\sqrt{360000-320000}}{2\left(-20\right)}$$

Adder 360000 til -320000.

$$x=\frac{-600±\sqrt{40000}}{2\left(-20\right)}$$

Tag kvadratroden af 40000.

$$x=\frac{-600±200}{2\left(-20\right)}$$

Multiplicer 2 gange -20.

$$x=\frac{-600±200}{-40}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-600±200}{-40} når ± er plus. Adder -600 til 200.

$$x=-\frac{400}{-40}$$

Divider -400 med -40.

$$x=10$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-600±200}{-40} når ± er minus. Subtraher 200 fra -600.

$$x=-\frac{800}{-40}$$

Divider -800 med -40.

$$x=20$$

Ligningen er nu løst.

$$x=10 x=20$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10+x med 800-20x, og kombiner ens led.

$$8000+600x-20x^{2}=12000$$

Subtraher 8000 fra begge sider.

$$600x-20x^{2}=12000-8000$$

Subtraher 8000 fra 12000 for at få 4000.

$$600x-20x^{2}=4000$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-20x^{2}+600x=4000$$

Divider begge sider med -20.

$$\frac{-20x^{2}+600x}{-20}=\frac{4000}{-20}$$

Division med -20 annullerer multiplikationen med -20.

$$x^{2}+\frac{600}{-20}x=\frac{4000}{-20}$$

Divider 600 med -20.

$$x^{2}-30x=\frac{4000}{-20}$$

Divider 4000 med -20.

$$x^{2}-30x=-200$$

Divider -30, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -15. Adder derefter kvadratet af -15 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-30x+\left(-15\right)^{2}=-200+\left(-15\right)^{2}$$

Kvadrér -15.

$$x^{2}-30x+225=-200+225$$

Adder -200 til 225.

$$x^{2}-30x+225=25$$

Faktor x^{2}-30x+225. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-15\right)^{2}=25$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-15\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Forenkling.

$$x-15=5 x-15=-5$$

Adder 15 på begge sider af ligningen.

$$x=20 x=10$$