Løs (1+x/2)(1000-200x)+500(1+x)=14400

$$(1+ \frac{ x }{ 2 } )(1000-200x)+500(1+x)=14400$$

Løs for x (complex solution)

$$x=4+\sqrt{113}i\approx 4+10,630145813i$$

$$x=-\sqrt{113}i+4\approx 4-10,630145813i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicer begge sider af ligningen med 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med 1+\frac{x}{2}.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Udtryk 2\times \frac{x}{2} som en enkelt brøk.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Udlign 2 og 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i 2+x med hvert led i 1000-200x.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Kombiner -400x og 1000x for at få 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 1000 med 1+x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Tilføj 2000 og 1000 for at få 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Kombiner 600x og 1000x for at få 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Subtraher 28800 fra begge sider.

$$3000+1600x-200x^{2}-28800=0$$

Subtraher 28800 fra 3000 for at få -25800.

$$-25800+1600x-200x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-200x^{2}+1600x-25800=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -200 med a, 1600 med b og -25800 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{1600^{2}-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Kvadrér 1600.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Multiplicer -4 gange -200.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000+800\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Multiplicer 800 gange -25800.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-20640000}}{2\left(-200\right)}$$

Adder 2560000 til -20640000.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{-18080000}}{2\left(-200\right)}$$

Tag kvadratroden af -18080000.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{2\left(-200\right)}$$

Multiplicer 2 gange -200.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} når ± er plus. Adder -1600 til 400i\sqrt{113}.

$$x=\frac{-1600+400\sqrt{113}i}{-400}$$

Divider -1600+400i\sqrt{113} med -400.

$$x=-\sqrt{113}i+4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} når ± er minus. Subtraher 400i\sqrt{113} fra -1600.

$$x=\frac{-400\sqrt{113}i-1600}{-400}$$

Divider -1600-400i\sqrt{113} med -400.

$$x=4+\sqrt{113}i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\sqrt{113}i+4 x=4+\sqrt{113}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Multiplicer begge sider af ligningen med 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med 1+\frac{x}{2}.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Udtryk 2\times \frac{x}{2} som en enkelt brøk.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Udlign 2 og 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i 2+x med hvert led i 1000-200x.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Kombiner -400x og 1000x for at få 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 1000 med 1+x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Tilføj 2000 og 1000 for at få 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Kombiner 600x og 1000x for at få 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Subtraher 3000 fra begge sider.

$$1600x-200x^{2}=28800-3000$$

Subtraher 3000 fra 28800 for at få 25800.

$$1600x-200x^{2}=25800$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-200x^{2}+1600x=25800$$

Divider begge sider med -200.

$$\frac{-200x^{2}+1600x}{-200}=\frac{25800}{-200}$$

Division med -200 annullerer multiplikationen med -200.

$$x^{2}+\frac{1600}{-200}x=\frac{25800}{-200}$$

Divider 1600 med -200.

$$x^{2}-8x=\frac{25800}{-200}$$

Divider 25800 med -200.

$$x^{2}-8x=-129$$

Divider -8, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -4. Adder derefter kvadratet af -4 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-129+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrér -4.

$$x^{2}-8x+16=-129+16$$

Adder -129 til 16.

$$x^{2}-8x+16=-113$$

Faktor x^{2}-8x+16. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-4\right)^{2}=-113$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-113}$$

Forenkling.

$$x-4=\sqrt{113}i x-4=-\sqrt{113}i$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$x=4+\sqrt{113}i x=-\sqrt{113}i+4$$