Løs (x-4)(28-x)-16=103

$$( x - 4 ) ( 28 - x ) - 16 = 103$$

Løs for x

$$x=11$$

$$x=21$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-4 med 28-x, og kombiner ens led.

$$32x-x^{2}-112-16=103$$

Subtraher 16 fra -112 for at få -128.

$$32x-x^{2}-128=103$$

Subtraher 103 fra begge sider.

$$32x-x^{2}-128-103=0$$

Subtraher 103 fra -128 for at få -231.

$$32x-x^{2}-231=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+32x-231=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 32 med b og -231 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\left(-1\right)\left(-231\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\left(-1\right)\left(-231\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+4\left(-231\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -231.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-924}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1024 til -924.

$$x=\frac{-32±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 100.

$$x=\frac{-32±10}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-32±10}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-32±10}{-2} når ± er plus. Adder -32 til 10.

$$x=-\frac{22}{-2}$$

Divider -22 med -2.

$$x=11$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-32±10}{-2} når ± er minus. Subtraher 10 fra -32.

$$x=-\frac{42}{-2}$$

Divider -42 med -2.

$$x=21$$

Ligningen er nu løst.

$$x=11 x=21$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-4 med 28-x, og kombiner ens led.

$$32x-x^{2}-112-16=103$$

Subtraher 16 fra -112 for at få -128.

$$32x-x^{2}-128=103$$

Tilføj 128 på begge sider.

$$32x-x^{2}=103+128$$

Tilføj 103 og 128 for at få 231.

$$32x-x^{2}=231$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+32x=231$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+32x}{-1}=\frac{231}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{32}{-1}x=\frac{231}{-1}$$

Divider 32 med -1.

$$x^{2}-32x=\frac{231}{-1}$$

Divider 231 med -1.

$$x^{2}-32x=-231$$

Divider -32, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -16. Adder derefter kvadratet af -16 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-32x+\left(-16\right)^{2}=-231+\left(-16\right)^{2}$$

Kvadrér -16.

$$x^{2}-32x+256=-231+256$$

Adder -231 til 256.

$$x^{2}-32x+256=25$$

Faktor x^{2}-32x+256. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-16\right)^{2}=25$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-16\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Forenkling.

$$x-16=5 x-16=-5$$

Adder 16 på begge sider af ligningen.

$$x=21 x=11$$