Løs (x-10)(30-x)=144

$$( x - 10 ) ( 30 - x ) = 144$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-2\sqrt{11}i+20\approx 20-6,633249581i$$

$$x=20+2\sqrt{11}i\approx 20+6,633249581i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-10 med 30-x, og kombiner ens led.

$$40x-x^{2}-300=144$$

Subtraher 144 fra begge sider.

$$40x-x^{2}-300-144=0$$

Subtraher 144 fra -300 for at få -444.

$$40x-x^{2}-444=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+40x-444=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 40 med b og -444 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-1\right)\left(-444\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 40.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\left(-444\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+4\left(-444\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -444.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-1776}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1600 til -1776.

$$x=\frac{-40±\sqrt{-176}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af -176.

$$x=\frac{-40±4\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-40±4\sqrt{11}i}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-40±4\sqrt{11}i}{-2} når ± er plus. Adder -40 til 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-40+4\sqrt{11}i}{-2}$$

Divider -40+4i\sqrt{11} med -2.

$$x=-2\sqrt{11}i+20$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-40±4\sqrt{11}i}{-2} når ± er minus. Subtraher 4i\sqrt{11} fra -40.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-40}{-2}$$

Divider -40-4i\sqrt{11} med -2.

$$x=20+2\sqrt{11}i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-2\sqrt{11}i+20 x=20+2\sqrt{11}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-10 med 30-x, og kombiner ens led.

$$40x-x^{2}-300=144$$

Tilføj 300 på begge sider.

$$40x-x^{2}=144+300$$

Tilføj 144 og 300 for at få 444.

$$40x-x^{2}=444$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+40x=444$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+40x}{-1}=\frac{444}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{40}{-1}x=\frac{444}{-1}$$

Divider 40 med -1.

$$x^{2}-40x=\frac{444}{-1}$$

Divider 444 med -1.

$$x^{2}-40x=-444$$

Divider -40, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -20. Adder derefter kvadratet af -20 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=-444+\left(-20\right)^{2}$$

Kvadrér -20.

$$x^{2}-40x+400=-444+400$$

Adder -444 til 400.

$$x^{2}-40x+400=-44$$

Faktor x^{2}-40x+400. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-20\right)^{2}=-44$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{-44}$$

Forenkling.

$$x-20=2\sqrt{11}i x-20=-2\sqrt{11}i$$

Adder 20 på begge sider af ligningen.

$$x=20+2\sqrt{11}i x=-2\sqrt{11}i+20$$