Løs (x)=2(x-1)^2+1

$$( x ) = 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 1$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x^{2}-2x+1.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

Tilføj 2 og 1 for at få 3.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

Tilføj 4x på begge sider.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

Kombiner x og 4x for at få 5x.

$$5x-2x^{2}=3$$

Subtraher 3 fra begge sider.

$$5x-2x^{2}-3=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-2x^{2}+5x-3=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -2x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=5 ab=-2\left(-3\right)=6$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 6.

$$1,6 2,3$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+6=7 2+3=5$$

Løsningen er det par, der får summen 5.

$$a=3 b=2$$

Omskriv -2x^{2}+5x-3 som \left(-2x^{2}+3x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(-2x^{2}+3x\right)+\left(2x-3\right)$$

Udfaktoriser -x i -2x^{2}+3x.

$$-x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-3\right)\left(-x+1\right)$$

Løs 2x-3=0 og -x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x^{2}-2x+1.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

Tilføj 2 og 1 for at få 3.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

Tilføj 4x på begge sider.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

Kombiner x og 4x for at få 5x.

$$5x-2x^{2}=3$$

Subtraher 3 fra begge sider.

$$5x-2x^{2}-3=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+5x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 5 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 25 til -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-5±1}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±1}{-4} når ± er plus. Adder -5 til 1.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Divider -4 med -4.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±1}{-4} når ± er minus. Subtraher 1 fra -5.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{-6}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=\frac{3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x^{2}-2x+1.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

Tilføj 2 og 1 for at få 3.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

Tilføj 4x på begge sider.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

Kombiner x og 4x for at få 5x.

$$5x-2x^{2}=3$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+5x=3$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+5x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{5}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

Divider 5 med -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Divider 3 med -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Divider -\frac{5}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Føj -\frac{3}{2} til \frac{25}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}$$

Adder \frac{5}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$