Løs (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Overvej \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Udvid \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Beregn 3 til potensen af 2, og få 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kombiner x^{2} og 9x^{2} for at få 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Subtraher 64 fra 9 for at få -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Tilføj -55 og 1 for at få -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Kombiner 10x^{2} og -3x^{2} for at få 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Subtraher 9x fra begge sider.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Kombiner 6x og -9x for at få -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Subtraher 18 fra begge sider.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Subtraher 18 fra -54 for at få -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 7x^{2}+ax+bx-72. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -504.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Løsningen er det par, der får summen -3.

$$a=-24 b=21$$

Omskriv 7x^{2}-3x-72 som \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Udx i den første og 3 i den anden gruppe.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 7x-24 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Løs 7x-24=0 og x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Overvej \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Udvid \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Beregn 3 til potensen af 2, og få 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kombiner x^{2} og 9x^{2} for at få 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Subtraher 64 fra 9 for at få -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Tilføj -55 og 1 for at få -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Kombiner 10x^{2} og -3x^{2} for at få 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Subtraher 9x fra begge sider.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Kombiner 6x og -9x for at få -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Subtraher 18 fra begge sider.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Subtraher 18 fra -54 for at få -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, -3 med b og -72 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Adder 9 til 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±45}{14} når ± er plus. Adder 3 til 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Reducer fraktionen \frac{48}{14} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±45}{14} når ± er minus. Subtraher 45 fra 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Divider -42 med 14.

$$x=-3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Overvej \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Udvid \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Beregn 3 til potensen af 2, og få 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kombiner x^{2} og 9x^{2} for at få 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Subtraher 64 fra 9 for at få -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Tilføj -55 og 1 for at få -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Kombiner 10x^{2} og -3x^{2} for at få 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Subtraher 9x fra begge sider.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Kombiner 6x og -9x for at få -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Tilføj 54 på begge sider.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Tilføj 18 og 54 for at få 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Divider -\frac{3}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{14}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{14} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{14} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Føj \frac{72}{7} til \frac{9}{196} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Adder \frac{3}{14} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$