Løs (7-a)(a-3)=1

$$( 7 - a ) ( a - 3 ) = 1$$

Løs for a

$$a=\sqrt{3}+5\approx 6,732050808$$

$$a=5-\sqrt{3}\approx 3,267949192$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7-a med a-3, og kombiner ens led.

$$10a-21-a^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$10a-21-a^{2}-1=0$$

Subtraher 1 fra -21 for at få -22.

$$10a-22-a^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-a^{2}+10a-22=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 10 med b og -22 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 10.

$$a=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$a=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -22.

$$a=\frac{-10±\sqrt{100-88}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 100 til -88.

$$a=\frac{-10±\sqrt{12}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 12.

$$a=\frac{-10±2\sqrt{3}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$a=\frac{-10±2\sqrt{3}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{-10±2\sqrt{3}}{-2} når ± er plus. Adder -10 til 2\sqrt{3}.

$$a=\frac{2\sqrt{3}-10}{-2}$$

Divider -10+2\sqrt{3} med -2.

$$a=5-\sqrt{3}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{-10±2\sqrt{3}}{-2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{3} fra -10.

$$a=\frac{-2\sqrt{3}-10}{-2}$$

Divider -10-2\sqrt{3} med -2.

$$a=\sqrt{3}+5$$

Ligningen er nu løst.

$$a=5-\sqrt{3} a=\sqrt{3}+5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7-a med a-3, og kombiner ens led.

$$10a-21-a^{2}=1$$

Tilføj 21 på begge sider.

$$10a-a^{2}=1+21$$

Tilføj 1 og 21 for at få 22.

$$10a-a^{2}=22$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-a^{2}+10a=22$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-a^{2}+10a}{-1}=\frac{22}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$a^{2}+\frac{10}{-1}a=\frac{22}{-1}$$

Divider 10 med -1.

$$a^{2}-10a=\frac{22}{-1}$$

Divider 22 med -1.

$$a^{2}-10a=-22$$

Divider -10, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -5. Adder derefter kvadratet af -5 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}-10a+\left(-5\right)^{2}=-22+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrér -5.

$$a^{2}-10a+25=-22+25$$

Adder -22 til 25.

$$a^{2}-10a+25=3$$

Faktor a^{2}-10a+25. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a-5\right)^{2}=3$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a-5\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Forenkling.

$$a-5=\sqrt{3} a-5=-\sqrt{3}$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$a=\sqrt{3}+5 a=5-\sqrt{3}$$