Løs (5x-7)^2-5(2x+1)(x-2)=-x^2-[-(3x+1)]

$$( 5 x - 7 ) ^ { 2 } - 5 ( 2 x + 1 ) ( x - 2 ) = - x ^ { 2 } - [ - ( 3 x + 1 ) ]$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{29+\sqrt{87}i}{16}\approx 1,8125+0,582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+29}{16}\approx 1,8125-0,582961191i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(5x-7\right)^{2}.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}-\left(-\left(3x+1\right)\right)$$

For at finde det modsatte af 3x+1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}-\left(-3x-1\right)$$

For at finde det modsatte af -3x-1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}+3x+1$$

Tilføj x^{2} på begge sider.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}=3x+1$$

Subtraher 3x fra begge sider.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x-1=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5 med 2x+1.

$$25x^{2}-70x+49+\left(-10x-5\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x-1=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -10x-5 med x-2, og kombiner ens led.

$$25x^{2}-70x+49-10x^{2}+15x+10+x^{2}-3x-1=0$$

Kombiner 25x^{2} og -10x^{2} for at få 15x^{2}.

$$15x^{2}-70x+49+15x+10+x^{2}-3x-1=0$$

Kombiner -70x og 15x for at få -55x.

$$15x^{2}-55x+49+10+x^{2}-3x-1=0$$

Tilføj 49 og 10 for at få 59.

$$15x^{2}-55x+59+x^{2}-3x-1=0$$

Kombiner 15x^{2} og x^{2} for at få 16x^{2}.

$$16x^{2}-55x+59-3x-1=0$$

Kombiner -55x og -3x for at få -58x.

$$16x^{2}-58x+59-1=0$$

Subtraher 1 fra 59 for at få 58.

$$16x^{2}-58x+58=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 16 med a, -58 med b og 58 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{\left(-58\right)^{2}-4\times 16\times 58}}{2\times 16}$$

Kvadrér -58.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-4\times 16\times 58}}{2\times 16}$$

Multiplicer -4 gange 16.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-64\times 58}}{2\times 16}$$

Multiplicer -64 gange 58.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-3712}}{2\times 16}$$

Adder 3364 til -3712.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{-348}}{2\times 16}$$

Tag kvadratroden af -348.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±2\sqrt{87}i}{2\times 16}$$

Det modsatte af -58 er 58.

$$x=\frac{58±2\sqrt{87}i}{2\times 16}$$

Multiplicer 2 gange 16.

$$x=\frac{58±2\sqrt{87}i}{32}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{58±2\sqrt{87}i}{32} når ± er plus. Adder 58 til 2i\sqrt{87}.

$$x=\frac{58+2\sqrt{87}i}{32}$$

Divider 58+2i\sqrt{87} med 32.

$$x=\frac{29+\sqrt{87}i}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{58±2\sqrt{87}i}{32} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{87} fra 58.

$$x=\frac{-2\sqrt{87}i+58}{32}$$

Divider 58-2i\sqrt{87} med 32.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+29}{16}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{29+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i+29}{16}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(5x-7\right)^{2}.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}-\left(-\left(3x+1\right)\right)$$

For at finde det modsatte af 3x+1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}-\left(-3x-1\right)$$

For at finde det modsatte af -3x-1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}+3x+1$$

Tilføj x^{2} på begge sider.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}=3x+1$$

Subtraher 3x fra begge sider.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x=1$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5 med 2x+1.

$$25x^{2}-70x+49+\left(-10x-5\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x=1$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -10x-5 med x-2, og kombiner ens led.

$$25x^{2}-70x+49-10x^{2}+15x+10+x^{2}-3x=1$$

Kombiner 25x^{2} og -10x^{2} for at få 15x^{2}.

$$15x^{2}-70x+49+15x+10+x^{2}-3x=1$$

Kombiner -70x og 15x for at få -55x.

$$15x^{2}-55x+49+10+x^{2}-3x=1$$

Tilføj 49 og 10 for at få 59.

$$15x^{2}-55x+59+x^{2}-3x=1$$

Kombiner 15x^{2} og x^{2} for at få 16x^{2}.

$$16x^{2}-55x+59-3x=1$$

Kombiner -55x og -3x for at få -58x.

$$16x^{2}-58x+59=1$$

Subtraher 59 fra begge sider.

$$16x^{2}-58x=1-59$$

Subtraher 59 fra 1 for at få -58.

$$16x^{2}-58x=-58$$

Divider begge sider med 16.

$$\frac{16x^{2}-58x}{16}=-\frac{58}{16}$$

Division med 16 annullerer multiplikationen med 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{58}{16}\right)x=-\frac{58}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{-58}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x=-\frac{58}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{-58}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x=-\frac{29}{8}$$

Divider -\frac{29}{8}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{29}{16}. Adder derefter kvadratet af -\frac{29}{16} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x+\left(-\frac{29}{16}\right)^{2}=-\frac{29}{8}+\left(-\frac{29}{16}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{29}{16} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x+\frac{841}{256}=-\frac{29}{8}+\frac{841}{256}$$

Føj -\frac{29}{8} til \frac{841}{256} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x+\frac{841}{256}=-\frac{87}{256}$$

Faktor x^{2}-\frac{29}{8}x+\frac{841}{256}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{29}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{29}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x-\frac{29}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Adder \frac{29}{16} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{29+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i+29}{16}$$