Løs (3x+1)(1-6x)-(3x+7)(3x+1)=0

$$( 3 x + 1 ) ( 1 - 6 x ) - ( 3 x + 7 ) ( 3 x + 1 ) = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x+1 med 1-6x, og kombiner ens led.

$$-3x-18x^{2}+1-\left(3x+7\right)\left(3x+1\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x+7 med 3x+1, og kombiner ens led.

$$-3x-18x^{2}+1-\left(9x^{2}+24x+7\right)=0$$

For at finde det modsatte af 9x^{2}+24x+7 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-3x-18x^{2}+1-9x^{2}-24x-7=0$$

Kombiner -18x^{2} og -9x^{2} for at få -27x^{2}.

$$-3x-27x^{2}+1-24x-7=0$$

Kombiner -3x og -24x for at få -27x.

$$-27x-27x^{2}+1-7=0$$

Subtraher 7 fra 1 for at få -6.

$$-27x-27x^{2}-6=0$$

Divider begge sider med 3.

$$-9x-9x^{2}-2=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-9x^{2}-9x-2=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -9x^{2}+ax+bx-2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-9 ab=-9\left(-2\right)=18$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Løsningen er det par, der får summen -9.

$$a=-3 b=-6$$

Omskriv -9x^{2}-9x-2 som \left(-9x^{2}-3x\right)+\left(-6x-2\right).

$$\left(-9x^{2}-3x\right)+\left(-6x-2\right)$$

Ud3x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$3x\left(-3x-1\right)+2\left(-3x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -3x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-3x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Løs -3x-1=0 og 3x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x+1 med 1-6x, og kombiner ens led.

$$-3x-18x^{2}+1-\left(3x+7\right)\left(3x+1\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x+7 med 3x+1, og kombiner ens led.

$$-3x-18x^{2}+1-\left(9x^{2}+24x+7\right)=0$$

For at finde det modsatte af 9x^{2}+24x+7 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-3x-18x^{2}+1-9x^{2}-24x-7=0$$

Kombiner -18x^{2} og -9x^{2} for at få -27x^{2}.

$$-3x-27x^{2}+1-24x-7=0$$

Kombiner -3x og -24x for at få -27x.

$$-27x-27x^{2}+1-7=0$$

Subtraher 7 fra 1 for at få -6.

$$-27x-27x^{2}-6=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-27x^{2}-27x-6=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -27 med a, -27 med b og -6 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\left(-27\right)\left(-6\right)}}{2\left(-27\right)}$$

Kvadrér -27.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\left(-27\right)\left(-6\right)}}{2\left(-27\right)}$$

Multiplicer -4 gange -27.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+108\left(-6\right)}}{2\left(-27\right)}$$

Multiplicer 108 gange -6.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-648}}{2\left(-27\right)}$$

Adder 729 til -648.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{81}}{2\left(-27\right)}$$

Tag kvadratroden af 81.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±9}{2\left(-27\right)}$$

Det modsatte af -27 er 27.

$$x=\frac{27±9}{2\left(-27\right)}$$

Multiplicer 2 gange -27.

$$x=\frac{27±9}{-54}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{27±9}{-54} når ± er plus. Adder 27 til 9.

$$x=\frac{36}{-54}$$

Reducer fraktionen \frac{36}{-54} til de laveste led ved at udtrække og annullere 18.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{27±9}{-54} når ± er minus. Subtraher 9 fra 27.

$$x=\frac{18}{-54}$$

Reducer fraktionen \frac{18}{-54} til de laveste led ved at udtrække og annullere 18.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{2}{3} x=-\frac{1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x+1 med 1-6x, og kombiner ens led.

$$-3x-18x^{2}+1-\left(3x+7\right)\left(3x+1\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x+7 med 3x+1, og kombiner ens led.

$$-3x-18x^{2}+1-\left(9x^{2}+24x+7\right)=0$$

For at finde det modsatte af 9x^{2}+24x+7 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-3x-18x^{2}+1-9x^{2}-24x-7=0$$

Kombiner -18x^{2} og -9x^{2} for at få -27x^{2}.

$$-3x-27x^{2}+1-24x-7=0$$

Kombiner -3x og -24x for at få -27x.

$$-27x-27x^{2}+1-7=0$$

Subtraher 7 fra 1 for at få -6.

$$-27x-27x^{2}-6=0$$

Tilføj 6 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$-27x-27x^{2}=6$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-27x^{2}-27x=6$$

Divider begge sider med -27.

$$\frac{-27x^{2}-27x}{-27}=\frac{6}{-27}$$

Division med -27 annullerer multiplikationen med -27.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{-27}\right)x=\frac{6}{-27}$$

Divider -27 med -27.

$$x^{2}+x=\frac{6}{-27}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{-27} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{9}$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{2}{9}+\frac{1}{4}$$

Føj -\frac{2}{9} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{36}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{3}$$