Løs (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Løs for r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Tilføj 9 og 225 for at få 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Kombiner 6r og 30r for at få 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Kombiner r^{2} og r^{2} for at få 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Beregn 18 til potensen af 2, og få 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Subtraher 324 fra begge sider.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Subtraher 324 fra 234 for at få -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 36 med b og -90 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 36.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Adder 1296 til 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} når ± er plus. Adder -36 til 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Divider -36+12\sqrt{14} med 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Nu skal du løse ligningen, r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} når ± er minus. Subtraher 12\sqrt{14} fra -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Divider -36-12\sqrt{14} med 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

Ligningen er nu løst.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Tilføj 9 og 225 for at få 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Kombiner 6r og 30r for at få 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Kombiner r^{2} og r^{2} for at få 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Beregn 18 til potensen af 2, og få 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Subtraher 234 fra begge sider.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Subtraher 234 fra 324 for at få 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2r^{2}+36r=90$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Divider 36 med 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Divider 90 med 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Divider 18, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 9. Adder derefter kvadratet af 9 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Kvadrér 9.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Adder 45 til 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Faktor r^{2}+18r+81. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Forenkling.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$