Løs (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Løs for k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2k-3\right)^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -4 med 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Subtraher 12 fra 9 for at få -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Kombiner -12k og 8k for at få -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 4 med a, -4 med b, og -3 med c i den kvadratiske formel.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Lav beregningerne.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Løs ligningen k=\frac{4±8}{8} når ± er plus, og når ± er minus.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal k-\frac{3}{2} og k+\frac{1}{2} have modsatte tegn. Overvej sagen, når k-\frac{3}{2} er positiv og k+\frac{1}{2} er negativ.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Dette er falsk for alle k.

$$k\in \emptyset$$

Overvej sagen, når k+\frac{1}{2} er positiv og k-\frac{3}{2} er negativ.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$