Løs (frac{sqrt{5}+1}{2})^2-(frac{sqrt{5}-1}{2})^2

$$( \frac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - ( \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } ) ^ { 2 }$$

Evaluer

$$\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

Korte løsningstrin

For at hæve \frac{\sqrt{5}+1}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}$$

For at hæve \frac{\sqrt{5}-1}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^{2}}{2^{2}}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{5}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{5} er 5.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

Tilføj 5 og 1 for at få 6.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{2^{2}}$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Udvid 2^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

Eftersom \frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4} og \frac{6-2\sqrt{5}}{4} har den samme fællesnævner, kan du trække dem fra dem ved at trække deres tællere fra.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)}{4}$$

Lav multiplikationerne i \left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right).

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}}{4}$$

Lav beregningerne i \left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}.

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

Udlign 4 og 4.

$$\sqrt{5}$$

Udvid

$$\sqrt{5} = 2,236067977$$

Korte løsningstrin

For at hæve \frac{\sqrt{5}+1}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}$$

For at hæve \frac{\sqrt{5}-1}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^{2}}{2^{2}}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{5}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{5} er 5.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

Tilføj 5 og 1 for at få 6.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{2^{2}}$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Udvid 2^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

Eftersom \frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4} og \frac{6-2\sqrt{5}}{4} har den samme fællesnævner, kan du trække dem fra dem ved at trække deres tællere fra.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)}{4}$$

Lav multiplikationerne i \left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right).

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}}{4}$$

Lav beregningerne i \left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}.

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

Udlign 4 og 4.

$$\sqrt{5}$$