Løs left(x-4right)^2+(x-1)(x+1)=25

$${ \left(x-4 \right) }^{ 2 } +(x-1)(x+1)=25$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-4\right)^{2}.

$$x^{2}-8x+16+\left(x-1\right)\left(x+1\right)=25$$

Overvej \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$x^{2}-8x+16+x^{2}-1=25$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16-1=25$$

Subtraher 1 fra 16 for at få 15.

$$2x^{2}-8x+15=25$$

Subtraher 25 fra begge sider.

$$2x^{2}-8x+15-25=0$$

Subtraher 25 fra 15 for at få -10.

$$2x^{2}-8x-10=0$$

Divider begge sider med 2.

$$x^{2}-4x-5=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-4 ab=1\left(-5\right)=-5$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-5 b=1$$

Omskriv x^{2}-4x-5 som \left(x^{2}-5x\right)+\left(x-5\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(x-5\right)$$

Udfaktoriser x i x^{2}-5x.

$$x\left(x-5\right)+x-5$$

Udfaktoriser fællesleddet x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-5\right)\left(x+1\right)$$

Løs x-5=0 og x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=5 x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-4\right)^{2}.

$$x^{2}-8x+16+\left(x-1\right)\left(x+1\right)=25$$

Overvej \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$x^{2}-8x+16+x^{2}-1=25$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16-1=25$$

Subtraher 1 fra 16 for at få 15.

$$2x^{2}-8x+15=25$$

Subtraher 25 fra begge sider.

$$2x^{2}-8x+15-25=0$$

Subtraher 25 fra 15 for at få -10.

$$2x^{2}-8x-10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -8 med b og -10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -10.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 2}$$

Adder 64 til 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 2}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{8±12}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±12}{4} når ± er plus. Adder 8 til 12.

$$x=\frac{20}{4}$$

Divider 20 med 4.

$$x=5$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±12}{4} når ± er minus. Subtraher 12 fra 8.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Divider -4 med 4.

$$x=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=5 x=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-4\right)^{2}.

$$x^{2}-8x+16+\left(x-1\right)\left(x+1\right)=25$$

Overvej \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$x^{2}-8x+16+x^{2}-1=25$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16-1=25$$

Subtraher 1 fra 16 for at få 15.

$$2x^{2}-8x+15=25$$

Subtraher 15 fra begge sider.

$$2x^{2}-8x=25-15$$

Subtraher 15 fra 25 for at få 10.

$$2x^{2}-8x=10$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{10}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{10}{2}$$

Divider -8 med 2.

$$x^{2}-4x=\frac{10}{2}$$

Divider 10 med 2.

$$x^{2}-4x=5$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=5+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=5+4$$

Adder 5 til 4.

$$x^{2}-4x+4=9$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=9$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkling.

$$x-2=3 x-2=-3$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=5 x=-1$$