Løs sqrt{x}=5x+3

$$\sqrt{ x } =5x+3$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-29+\sqrt{59}i}{50}\approx -0,58+0,153622915i$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(5x+3\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x} til potensen af 2, og få x.

$$x=\left(5x+3\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(5x+3\right)^{2}.

$$x=25x^{2}+30x+9$$

Subtraher 25x^{2} fra begge sider.

$$x-25x^{2}=30x+9$$

Subtraher 30x fra begge sider.

$$x-25x^{2}-30x=9$$

Kombiner x og -30x for at få -29x.

$$-29x-25x^{2}=9$$

Subtraher 9 fra begge sider.

$$-29x-25x^{2}-9=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-25x^{2}-29x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -25 med a, -29 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\left(-25\right)\left(-9\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Kvadrér -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\left(-25\right)\left(-9\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Multiplicer -4 gange -25.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+100\left(-9\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Multiplicer 100 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-900}}{2\left(-25\right)}$$

Adder 841 til -900.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{-59}}{2\left(-25\right)}$$

Tag kvadratroden af -59.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{59}i}{2\left(-25\right)}$$

Det modsatte af -29 er 29.

$$x=\frac{29±\sqrt{59}i}{2\left(-25\right)}$$

Multiplicer 2 gange -25.

$$x=\frac{29±\sqrt{59}i}{-50}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{29±\sqrt{59}i}{-50} når ± er plus. Adder 29 til i\sqrt{59}.

$$x=\frac{29+\sqrt{59}i}{-50}$$

Divider 29+i\sqrt{59} med -50.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-29}{50}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{29±\sqrt{59}i}{-50} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{59} fra 29.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+29}{-50}$$

Divider 29-i\sqrt{59} med -50.

$$x=\frac{-29+\sqrt{59}i}{50}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-29}{50} x=\frac{-29+\sqrt{59}i}{50}$$

Substituer x med \frac{-\sqrt{59}i-29}{50} i ligningen \sqrt{x}=5x+3.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{59}i-29}{50}}=5\times \frac{-\sqrt{59}i-29}{50}+3$$

Forenkling. Den værdi, x=\frac{-\sqrt{59}i-29}{50}, ikke opfylder ligningen.

$$-\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{10}i\times 59^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{10}i\times 59^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{10}$$

Substituer x med \frac{-29+\sqrt{59}i}{50} i ligningen \sqrt{x}=5x+3.

$$\sqrt{\frac{-29+\sqrt{59}i}{50}}=5\times \frac{-29+\sqrt{59}i}{50}+3$$

Forenkling. Værdien x=\frac{-29+\sqrt{59}i}{50} opfylder ligningen.

$$\frac{1}{10}+\frac{1}{10}i\times 59^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}i\times 59^{\frac{1}{2}}$$

Ligningen \sqrt{x}=5x+3 har en unik løsning.

$$x=\frac{-29+\sqrt{59}i}{50}$$