Løs sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=-1$$

Løsningsvejledning

Subtraher \sqrt{1+x} fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{1-x} til potensen af 2, og få 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{1+x} til potensen af 2, og få 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Tilføj 2 og 1 for at få 3.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Subtraher 3+x fra begge sider af ligningen.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

For at finde det modsatte af 3+x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Subtraher 3 fra 1 for at få -2.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Kombiner -x og -x for at få -2x.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(-2-2x\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Udvid \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Beregn -2 til potensen af 2, og få 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Multiplicer 4 og 2 for at få 8.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{1+x} til potensen af 2, og få 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8 med 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Subtraher 8 fra begge sider.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Subtraher 8 fra 4 for at få -4.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Subtraher 8x fra begge sider.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Kombiner 8x og -8x for at få 0.

$$-4+4x^{2}=0$$

Divider begge sider med 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Overvej -1+x^{2}. Omskriv -1+x^{2} som x^{2}-1^{2}. Forskellen mellem kvadraterne kan faktoriseres ved hjælp af reglen: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Løs x-1=0 og x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-1$$

Substituer x med 1 i ligningen \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Forenkling. Værdien x=1 opfylder ligningen.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Substituer x med -1 i ligningen \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Forenkling. Værdien x=-1 opfylder ligningen.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Vis alle løsninger af \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}.

$$x=1 x=-1$$