Løs sqrt{x^2-a^2}=x+a

$$\sqrt { x ^ { 2 } - a ^ { 2 } } = x + a$$

Løs for x (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\text{ and }arg(x)<\pi \end{matrix}\right,$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)^{2}=\left(x+a\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x^{2}-a^{2}} til potensen af 2, og få x^{2}-a^{2}.

$$x^{2}-a^{2}=\left(x+a\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} til at udvide \left(x+a\right)^{2}.

$$x^{2}-a^{2}=x^{2}+2xa+a^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-a^{2}-x^{2}=2xa+a^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for at få 0.

$$-a^{2}=2xa+a^{2}$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$2xa+a^{2}=-a^{2}$$

Subtraher a^{2} fra begge sider.

$$2xa=-a^{2}-a^{2}$$

Kombiner -a^{2} og -a^{2} for at få -2a^{2}.

$$2xa=-2a^{2}$$

Ligningen er nu i standardform.

$$2ax=-2a^{2}$$

Divider begge sider med 2a.

$$\frac{2ax}{2a}=-\frac{2a^{2}}{2a}$$

Division med 2a annullerer multiplikationen med 2a.

$$x=-\frac{2a^{2}}{2a}$$

Divider -2a^{2} med 2a.

$$x=-a$$

Substituer x med -a i ligningen \sqrt{x^{2}-a^{2}}=x+a.

$$\sqrt{\left(-a\right)^{2}-a^{2}}=-a+a$$

Forenkling. Værdien x=-a opfylder ligningen.

$$0=0$$

Ligningen \sqrt{x^{2}-a^{2}}=x+a har en unik løsning.

$$x=-a$$

Løs for x

$$\left\{\begin{matrix}x=-a\text{, }&a\neq 0\\x\geq 0\text{, }&a=0\end{matrix}\right,$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)^{2}=\left(x+a\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x^{2}-a^{2}} til potensen af 2, og få x^{2}-a^{2}.

$$x^{2}-a^{2}=\left(x+a\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} til at udvide \left(x+a\right)^{2}.

$$x^{2}-a^{2}=x^{2}+2xa+a^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-a^{2}-x^{2}=2xa+a^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for at få 0.

$$-a^{2}=2xa+a^{2}$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$2xa+a^{2}=-a^{2}$$

Subtraher a^{2} fra begge sider.

$$2xa=-a^{2}-a^{2}$$

Kombiner -a^{2} og -a^{2} for at få -2a^{2}.

$$2xa=-2a^{2}$$

Ligningen er nu i standardform.

$$2ax=-2a^{2}$$

Divider begge sider med 2a.

$$\frac{2ax}{2a}=-\frac{2a^{2}}{2a}$$

Division med 2a annullerer multiplikationen med 2a.

$$x=-\frac{2a^{2}}{2a}$$

Divider -2a^{2} med 2a.

$$x=-a$$

Substituer x med -a i ligningen \sqrt{x^{2}-a^{2}}=x+a.

$$\sqrt{\left(-a\right)^{2}-a^{2}}=-a+a$$

Forenkling. Værdien x=-a opfylder ligningen.

$$0=0$$

Ligningen \sqrt{x^{2}-a^{2}}=x+a har en unik løsning.

$$x=-a$$

Løs for a (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\a=-x\text{, }&\text{unconditionally}\\a=0\text{, }&arg(x)<\pi \end{matrix}\right,$$

Løs for a

$$\left\{\begin{matrix}\\a=-x\text{, }&\text{unconditionally}\\a=0\text{, }&x\geq 0\end{matrix}\right,$$