Løs sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

Løs for x

$$x=9$$

Løsningsvejledning

Subtraher -\sqrt{13-x} fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x+7} til potensen af 2, og få x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{13-x} til potensen af 2, og få 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

Tilføj 4 og 13 for at få 17.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

Subtraher 17-x fra begge sider af ligningen.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

For at finde det modsatte af 17-x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

Subtraher 17 fra 7 for at få -10.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

Kombiner x og x for at få 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2x-10\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Udvid \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Beregn 4 til potensen af 2, og få 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{13-x} til potensen af 2, og få 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 16 med 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

Subtraher 208 fra begge sider.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

Subtraher 208 fra 100 for at få -108.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

Tilføj 16x på begge sider.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

Kombiner -40x og 16x for at få -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

Divider begge sider med 4.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-27. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -27.

$$1,-27 3,-9$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Løsningen er det par, der får summen -6.

$$a=-9 b=3$$

Omskriv x^{2}-6x-27 som \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Udx i den første og 3 i den anden gruppe.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-9 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Løs x-9=0 og x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=9 x=-3$$

Substituer x med 9 i ligningen \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Forenkling. Værdien x=9 opfylder ligningen.

$$2=2$$

Substituer x med -3 i ligningen \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

Forenkling. Værdien x=-3 opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$-2=2$$

Substituer x med 9 i ligningen \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Forenkling. Værdien x=9 opfylder ligningen.

$$2=2$$

Ligningen \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 har en unik løsning.

$$x=9$$