Løs sqrt{x+2}=x+1

$$\sqrt { x + 2 } = x + 1$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618033989$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(x+1\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x+2} til potensen af 2, og få x+2.

$$x+2=\left(x+1\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$x+2=x^{2}+2x+1$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$x+2-x^{2}=2x+1$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$x+2-x^{2}-2x=1$$

Kombiner x og -2x for at få -x.

$$-x+2-x^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$-x+2-x^{2}-1=0$$

Subtraher 1 fra 2 for at få 1.

$$-x+1-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}-x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -1 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1 til 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} når ± er plus. Adder 1 til \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{-2}$$

Divider 1+\sqrt{5} med -2.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{5} fra 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{-2}$$

Divider 1-\sqrt{5} med -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Substituer x med \frac{-\sqrt{5}-1}{2} i ligningen \sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+1$$

Forenkling. Værdien x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Substituer x med \frac{\sqrt{5}-1}{2} i ligningen \sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1$$

Forenkling. Værdien x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} opfylder ligningen.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Ligningen \sqrt{x+2}=x+1 har en unik løsning.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$