Løs sqrt{6+sqrt{x+4}}=sqrt{2x-1}

$$\sqrt { 6 + \sqrt { x + 4 } } = \sqrt { 2 x - 1 }$$

Løs for x

$$x=5$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{6+\sqrt{x+4}}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{6+\sqrt{x+4}} til potensen af 2, og få 6+\sqrt{x+4}.

$$6+\sqrt{x+4}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{2x-1} til potensen af 2, og få 2x-1.

$$6+\sqrt{x+4}=2x-1$$

Subtraher 6 fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{x+4}=2x-1-6$$

Subtraher 6 fra -1 for at få -7.

$$\sqrt{x+4}=2x-7$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}=\left(2x-7\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x+4} til potensen af 2, og få x+4.

$$x+4=\left(2x-7\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2x-7\right)^{2}.

$$x+4=4x^{2}-28x+49$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$x+4-4x^{2}=-28x+49$$

Tilføj 28x på begge sider.

$$x+4-4x^{2}+28x=49$$

Kombiner x og 28x for at få 29x.

$$29x+4-4x^{2}=49$$

Subtraher 49 fra begge sider.

$$29x+4-4x^{2}-49=0$$

Subtraher 49 fra 4 for at få -45.

$$29x-45-4x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-4x^{2}+29x-45=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -4x^{2}+ax+bx-45. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=29 ab=-4\left(-45\right)=180$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 180.

$$1,180 2,90 3,60 4,45 5,36 6,30 9,20 10,18 12,15$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+180=181 2+90=92 3+60=63 4+45=49 5+36=41 6+30=36 9+20=29 10+18=28 12+15=27$$

Løsningen er det par, der får summen 29.

$$a=20 b=9$$

Omskriv -4x^{2}+29x-45 som \left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right).

$$\left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right)$$

Ud4x i den første og -9 i den anden gruppe.

$$4x\left(-x+5\right)-9\left(-x+5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+5\right)\left(4x-9\right)$$

Løs -x+5=0 og 4x-9=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=5 x=\frac{9}{4}$$

Substituer x med 5 i ligningen \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Forenkling. Værdien x=5 opfylder ligningen.

$$3=3$$

Substituer x med \frac{9}{4} i ligningen \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{\frac{9}{4}+4}}=\sqrt{2\times \frac{9}{4}-1}$$

Forenkling. Den værdi, x=\frac{9}{4}, ikke opfylder ligningen.

$$\frac{1}{2}\times 34^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 14^{\frac{1}{2}}$$

Substituer x med 5 i ligningen \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Forenkling. Værdien x=5 opfylder ligningen.

$$3=3$$

Ligningen \sqrt{\sqrt{x+4}+6}=\sqrt{2x-1} har en unik løsning.

$$x=5$$