Løs sqrt{5n+9}=n-1

$$\sqrt { 5 n + 9 } = n - 1$$

Løs for n

$$n=8$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{5n+9}\right)^{2}=\left(n-1\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{5n+9} til potensen af 2, og få 5n+9.

$$5n+9=\left(n-1\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(n-1\right)^{2}.

$$5n+9=n^{2}-2n+1$$

Subtraher n^{2} fra begge sider.

$$5n+9-n^{2}=-2n+1$$

Tilføj 2n på begge sider.

$$5n+9-n^{2}+2n=1$$

Kombiner 5n og 2n for at få 7n.

$$7n+9-n^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$7n+9-n^{2}-1=0$$

Subtraher 1 fra 9 for at få 8.

$$7n+8-n^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-n^{2}+7n+8=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -n^{2}+an+bn+8. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=-8=-8$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -8.

$$-1,8 -2,4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=8 b=-1$$

Omskriv -n^{2}+7n+8 som \left(-n^{2}+8n\right)+\left(-n+8\right).

$$\left(-n^{2}+8n\right)+\left(-n+8\right)$$

Ud-n i den første og -1 i den anden gruppe.

$$-n\left(n-8\right)-\left(n-8\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet n-8 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(n-8\right)\left(-n-1\right)$$

Løs n-8=0 og -n-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$n=8 n=-1$$

Substituer n med 8 i ligningen \sqrt{5n+9}=n-1.

$$\sqrt{5\times 8+9}=8-1$$

Forenkling. Værdien n=8 opfylder ligningen.

$$7=7$$

Substituer n med -1 i ligningen \sqrt{5n+9}=n-1.

$$\sqrt{5\left(-1\right)+9}=-1-1$$

Forenkling. Værdien n=-1 opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$2=-2$$

Ligningen \sqrt{5n+9}=n-1 har en unik løsning.

$$n=8$$