Løs sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Løs for x

$$x=5$$

$$x=1$$

Løsningsvejledning

Subtraher -\sqrt{2x-1} fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{3x+1} til potensen af 2, og få 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{2x-1} til potensen af 2, og få 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Subtraher 1 fra 1 for at få 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Subtraher 2x fra begge sider af ligningen.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Kombiner 3x og -2x for at få x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Udvid \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{2x-1} til potensen af 2, og få 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Subtraher 8x fra begge sider.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Kombiner 2x og -8x for at få -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Tilføj 1 og 4 for at få 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Faktor x^{2}-6x+5 ved hjælp af formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-6 ab=5$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-5 b=-1$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Løs x-5=0 og x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=5 x=1$$

Substituer x med 5 i ligningen \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Forenkling. Værdien x=5 opfylder ligningen.

$$1=1$$

Substituer x med 1 i ligningen \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Forenkling. Værdien x=1 opfylder ligningen.

$$1=1$$

Vis alle løsninger af \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$