Løs sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Løs for x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Tilføj 4 og 4 for at få 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} til potensen af 2, og få x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Tilføj 4 og 16 for at få 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} til potensen af 2, og få x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for at få 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Kombiner -4x og -4x for at få -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Subtraher 8 fra begge sider.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Subtraher 8 fra 20 for at få 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Subtraher y^{2} fra begge sider.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Kombiner y^{2} og -y^{2} for at få 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Tilføj 4y på begge sider.

$$-8x=12-8y+4y$$

Kombiner -8y og 4y for at få -4y.

$$-8x=12-4y$$

Divider begge sider med -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

Division med -8 annullerer multiplikationen med -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Divider 12-4y med -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Substituer x med \frac{y-3}{2} i ligningen \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Forenkling. Værdien x=\frac{y-3}{2} opfylder ligningen.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ligningen \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} har en unik løsning.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Løs for y

$$y=2x+3$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Tilføj 4 og 4 for at få 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} til potensen af 2, og få x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Tilføj 4 og 16 for at få 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} til potensen af 2, og få x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Subtraher y^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Kombiner y^{2} og -y^{2} for at få 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Tilføj 8y på begge sider.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Kombiner -4y og 8y for at få 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for at få 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Tilføj 4x på begge sider.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Kombiner 4x og 4x for at få 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Subtraher 8 fra begge sider.

$$4y=8x+20-8$$

Subtraher 8 fra 20 for at få 12.

$$4y=8x+12$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Divider 8x+12 med 4.

$$y=2x+3$$

Substituer y med 2x+3 i ligningen \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Forenkling. Værdien y=2x+3 opfylder ligningen.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ligningen \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} har en unik løsning.

$$y=2x+3$$