Løs quad9a^2-6a-1=0

$$\quad 9 a ^ { 2 } - 6 a - 1 = 0$$

Løs for a

$$a=\frac{\sqrt{2}+1}{3}\approx 0,804737854$$

$$a=\frac{1-\sqrt{2}}{3}\approx -0,138071187$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9a^{2}-6a-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -6 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrér -6.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange -1.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+36}}{2\times 9}$$

Adder 36 til 36.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 72.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$a=\frac{6±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$a=\frac{6±6\sqrt{2}}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{6±6\sqrt{2}}{18} når ± er plus. Adder 6 til 6\sqrt{2}.

$$a=\frac{6\sqrt{2}+6}{18}$$

Divider 6+6\sqrt{2} med 18.

$$a=\frac{\sqrt{2}+1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{6±6\sqrt{2}}{18} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{2} fra 6.

$$a=\frac{6-6\sqrt{2}}{18}$$

Divider 6-6\sqrt{2} med 18.

$$a=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$a=\frac{\sqrt{2}+1}{3} a=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9a^{2}-6a-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$9a^{2}-6a-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9a^{2}-6a=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$9a^{2}-6a=1$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9a^{2}-6a}{9}=\frac{1}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$a^{2}+\left(-\frac{6}{9}\right)a=\frac{1}{9}$$

Reducer fraktionen \frac{-6}{9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$a^{2}-\frac{2}{3}a=\frac{1}{9}$$

Divider -\frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}-\frac{2}{3}a+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$a^{2}-\frac{2}{3}a+\frac{1}{9}=\frac{1+1}{9}$$

Føj \frac{1}{9} til \frac{1}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$a^{2}-\frac{2}{3}a+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$$

Faktor a^{2}-\frac{2}{3}a+\frac{1}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Forenkling.

$$a-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} a-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Adder \frac{1}{3} på begge sider af ligningen.

$$a=\frac{\sqrt{2}+1}{3} a=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$$