Løs ∫ (from 1 to 5) of (15t^3-135t^2+225t)dt=

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( 15 t ^ { 3 } - 135 t ^ { 2 } + 225 t ) d t =$$

Evaluer

$$-540$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int 15t^{3}-135t^{2}+225t\mathrm{d}t$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 15t^{3}\mathrm{d}t+\int -135t^{2}\mathrm{d}t+\int 225t\mathrm{d}t$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$15\int t^{3}\mathrm{d}t-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int t^{3}\mathrm{d}t med \frac{t^{4}}{4}. Multiplicer 15 gange \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{15t^{4}}{4}-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int t^{2}\mathrm{d}t med \frac{t^{3}}{3}. Multiplicer -135 gange \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+225\int t\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int t\mathrm{d}t med \frac{t^{2}}{2}. Multiplicer 225 gange \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+\frac{225t^{2}}{2}$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{15}{4}\times 5^{4}-45\times 5^{3}+\frac{225}{2}\times 5^{2}-\left(\frac{15}{4}\times 1^{4}-45\times 1^{3}+\frac{225}{2}\times 1^{2}\right)$$

Forenkling.

$$-540$$