Løs ∫ (from 0 to frac { 1) of {2}}(2x-1)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } d x$$

Evaluer

$$\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

Løsningsvejledning

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2x-1\right)^{2}.

$$\int _{0}^{\frac{1}{2}}4x^{2}-4x+1\mathrm{d}x$$

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int 4x^{2}-4x+1\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -4x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicer 4 gange \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicer -4 gange \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Find integralen af 1 ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+x$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{4}{3}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}-2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}-\left(\frac{4}{3}\times 0^{3}-2\times 0^{2}+0\right)$$

Forenkling.

$$\frac{1}{6}$$