Løs 1/x-1/x-2=3

$$\frac{ 1 }{ x } - \frac{ 1 }{ x-2 } =3$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1\approx 1,577350269$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1\approx 0,422649731$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-2\right), det mindste fælles multiplum af x,x-2.

$$x-2-x=3x\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x med x-2.

$$x-2-x=3x^{2}-6x$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$x-2-x-3x^{2}=-6x$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$x-2-x-3x^{2}+6x=0$$

Kombiner x og 6x for at få 7x.

$$7x-2-x-3x^{2}=0$$

Kombiner 7x og -x for at få 6x.

$$6x-2-3x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+6x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 6 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-24}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 36 til -24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{12}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 12.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{-6} når ± er plus. Adder -6 til 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}-6}{-6}$$

Divider -6+2\sqrt{3} med -6.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{-6} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{3} fra -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}-6}{-6}$$

Divider -6-2\sqrt{3} med -6.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-2\right), det mindste fælles multiplum af x,x-2.

$$x-2-x=3x\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x med x-2.

$$x-2-x=3x^{2}-6x$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$x-2-x-3x^{2}=-6x$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$x-2-x-3x^{2}+6x=0$$

Kombiner x og 6x for at få 7x.

$$7x-2-x-3x^{2}=0$$

Tilføj 2 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$7x-x-3x^{2}=2$$

Kombiner 7x og -x for at få 6x.

$$6x-3x^{2}=2$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+6x=2$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+6x}{-3}=\frac{2}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{6}{-3}x=\frac{2}{-3}$$

Divider 6 med -3.

$$x^{2}-2x=\frac{2}{-3}$$

Divider 2 med -3.

$$x^{2}-2x=-\frac{2}{3}$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{2}{3}+1$$

Adder -\frac{2}{3} til 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{3}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{1}{3}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{3}}$$

Forenkling.

$$x-1=\frac{\sqrt{3}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$