Løs 1/2-x-1=1/x-2-5-x/3x^2-12

$$\frac{ 1 }{ 2-x } -1 = \frac{ 1 }{ x-2 } - \frac{ 5-x }{ 3 { x }^{ 2 } -12 }$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6}\approx 0,573384418$$

$$x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}\approx -2,906717751$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 3\left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af 2-x,x-2,3x^{2}-12.

$$-6-3x+3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)=3x+6-\left(5-x\right)$$

Multiplicer 3 og -1 for at få -3.

$$-6-3x-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=3x+6-\left(5-x\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -3 med x-2.

$$-6-3x+\left(-3x+6\right)\left(x+2\right)=3x+6-\left(5-x\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -3x+6 med x+2, og kombiner ens led.

$$-6-3x-3x^{2}+12=3x+6-\left(5-x\right)$$

Tilføj -6 og 12 for at få 6.

$$6-3x-3x^{2}=3x+6-\left(5-x\right)$$

For at finde det modsatte af 5-x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$6-3x-3x^{2}=3x+6-5+x$$

Subtraher 5 fra 6 for at få 1.

$$6-3x-3x^{2}=3x+1+x$$

Kombiner 3x og x for at få 4x.

$$6-3x-3x^{2}=4x+1$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$6-3x-3x^{2}-4x=1$$

Kombiner -3x og -4x for at få -7x.

$$6-7x-3x^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$6-7x-3x^{2}-1=0$$

Subtraher 1 fra 6 for at få 5.

$$5-7x-3x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}-7x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, -7 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 49 til 60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\left(-3\right)}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{109}}{-6} når ± er plus. Adder 7 til \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{-6}$$

Divider 7+\sqrt{109} med -6.

$$x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{109}}{-6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{109} fra 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{-6}$$

Divider 7-\sqrt{109} med -6.

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6} x=\frac{\sqrt{109}-7}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 3\left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af 2-x,x-2,3x^{2}-12.

$$-6-3x+3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)=3x+6-\left(5-x\right)$$

Multiplicer 3 og -1 for at få -3.

$$-6-3x-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=3x+6-\left(5-x\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -3 med x-2.

$$-6-3x+\left(-3x+6\right)\left(x+2\right)=3x+6-\left(5-x\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -3x+6 med x+2, og kombiner ens led.

$$-6-3x-3x^{2}+12=3x+6-\left(5-x\right)$$

Tilføj -6 og 12 for at få 6.

$$6-3x-3x^{2}=3x+6-\left(5-x\right)$$

For at finde det modsatte af 5-x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$6-3x-3x^{2}=3x+6-5+x$$

Subtraher 5 fra 6 for at få 1.

$$6-3x-3x^{2}=3x+1+x$$

Kombiner 3x og x for at få 4x.

$$6-3x-3x^{2}=4x+1$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$6-3x-3x^{2}-4x=1$$

Kombiner -3x og -4x for at få -7x.

$$6-7x-3x^{2}=1$$

Subtraher 6 fra begge sider.

$$-7x-3x^{2}=1-6$$

Subtraher 6 fra 1 for at få -5.

$$-7x-3x^{2}=-5$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}-7x=-5$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}-7x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{-3}\right)x=-\frac{5}{-3}$$

Divider -7 med -3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=-\frac{5}{-3}$$

Divider -5 med -3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=\frac{5}{3}$$

Divider \frac{7}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Føj \frac{5}{3} til \frac{49}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{109}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{109}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{109}}{6} x+\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{109}}{6}$$

Subtraher \frac{7}{6} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}$$