Løs 1/x^3+2x^2-x-2-2/1-x=3/x+1

$$\frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -x-2 } - \frac{ 2 }{ 1-x } = \frac{ 3 }{ x+1 }$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{53} + 3}{2} \approx 5,140054945$$

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}\approx -2,140054945$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,-1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1.

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Multiplicer -1 og 2 for at få -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2 med 1+x.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2-2x med 2+x, og kombiner ens led.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

For at finde det modsatte af -4-6x-2x^{2} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Tilføj 1 og 4 for at få 5.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med x+2, og kombiner ens led.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}+x-2 med 3.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Kombiner 2x^{2} og -3x^{2} for at få -x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Subtraher 3x fra begge sider.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Kombiner 6x og -3x for at få 3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Tilføj 6 på begge sider.

$$5+3x-x^{2}+6=0$$

Tilføj 5 og 6 for at få 11.

$$11+3x-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+3x+11=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 3 med b og 11 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 9 til 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} når ± er plus. Adder -3 til \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{-2}$$

Divider -3+\sqrt{53} med -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{53} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{-2}$$

Divider -3-\sqrt{53} med -2.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2} x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,-1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1.

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Multiplicer -1 og 2 for at få -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2 med 1+x.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2-2x med 2+x, og kombiner ens led.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

For at finde det modsatte af -4-6x-2x^{2} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Tilføj 1 og 4 for at få 5.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med x+2, og kombiner ens led.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}+x-2 med 3.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Kombiner 2x^{2} og -3x^{2} for at få -x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Subtraher 3x fra begge sider.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Kombiner 6x og -3x for at få 3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Subtraher 5 fra begge sider.

$$3x-x^{2}=-6-5$$

Subtraher 5 fra -6 for at få -11.

$$3x-x^{2}=-11$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+3x=-11$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

Divider 3 med -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{11}{-1}$$

Divider -11 med -1.

$$x^{2}-3x=11$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Adder 11 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$