Løs x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

Løs for x

$$x=2$$

$$x=-2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}, det mindste fælles multiplum af \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}+2x+1 med x^{3}-1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-2x+1 med x^{3}+1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

For at finde det modsatte af x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kombiner x^{5} og -x^{5} for at få 0.

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kombiner -x^{2} og -x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kombiner 2x^{4} og 2x^{4} for at få 4x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kombiner -2x og 2x for at få 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kombiner x^{3} og -x^{3} for at få 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Subtraher 1 fra -1 for at få -2.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 6 med x^{2}-2x+1.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 6x^{2}-12x+6 med x^{2}+2x+1, og kombiner ens led.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

Subtraher 6x^{4} fra begge sider.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

Kombiner 4x^{4} og -6x^{4} for at få -2x^{4}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

Tilføj 12x^{2} på begge sider.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

Kombiner -2x^{2} og 12x^{2} for at få 10x^{2}.

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

Subtraher 6 fra begge sider.

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

Subtraher 6 fra -2 for at få -8.

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

Erstat t for x^{2}.

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat -2 med a, 10 med b, og -8 med c i den kvadratiske formel.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

Lav beregningerne.

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

Løs ligningen t=\frac{-10±6}{-4} når ± er plus, og når ± er minus.

$$t=1 t=4$$

Siden x=t^{2} bliver løsningerne hentet ved at evaluere x=±\sqrt{t} for hver t.

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 1,-1.

$$x=-2 x=2$$