Løs x+1/x+x/x+1=5/2

$$\frac { x + 1 } { x } + \frac { x } { x + 1 } = \frac { 5 } { 2 }$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=-2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2x\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+2 med x+1, og kombiner ens led.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Multiplicer x og x for at få x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x^{2} og 2x^{2} for at få 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x med x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Kombiner 4x^{2} og -5x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Kombiner 4x og -5x for at få -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=1 b=-2$$

Omskriv -x^{2}-x+2 som \left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Udx i den første og 2 i den anden gruppe.

$$x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+1\right)\left(x+2\right)$$

Løs -x+1=0 og x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2x\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+2 med x+1, og kombiner ens led.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Multiplicer x og x for at få x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x^{2} og 2x^{2} for at få 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x med x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Kombiner 4x^{2} og -5x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Kombiner 4x og -5x for at få -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -1 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1 til 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{1±3}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±3}{-2} når ± er plus. Adder 1 til 3.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Divider 4 med -2.

$$x=-2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±3}{-2} når ± er minus. Subtraher 3 fra 1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Divider -2 med -2.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-2 x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2x\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+2 med x+1, og kombiner ens led.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Multiplicer x og x for at få x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x^{2} og 2x^{2} for at få 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x med x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Kombiner 4x^{2} og -5x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Kombiner 4x og -5x for at få -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Subtraher 2 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$-x^{2}-x=-2$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{2}{-1}$$

Divider -1 med -1.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{-1}$$

Divider -2 med -1.

$$x^{2}+x=2$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Adder 2 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-2$$