Løs frac{5+2sqrt{3}}{7+4sqrt{3}}=x+sqrt{3}y

$$\frac { 5 + 2 \sqrt { 3 } } { 7 + 4 \sqrt { 3 } } = x + \sqrt { 3 } y$$

Løs for y

$$y=-\frac{\sqrt{3}\left(x+6\sqrt{3}-11\right)}{3}$$

Vejledning i at løse lineær ligning

Rationaliser \frac{5+2\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 7-4\sqrt{3}.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{\left(7+4\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}=x+\sqrt{3}y$$

Overvej \left(7+4\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{7^{2}-\left(4\sqrt{3}\right)^{2}}=x+\sqrt{3}y$$

Beregn 7 til potensen af 2, og få 49.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-\left(4\sqrt{3}\right)^{2}}=x+\sqrt{3}y$$

Udvid \left(4\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-4^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=x+\sqrt{3}y$$

Beregn 4 til potensen af 2, og få 16.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-16\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=x+\sqrt{3}y$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-16\times 3}=x+\sqrt{3}y$$

Multiplicer 16 og 3 for at få 48.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-48}=x+\sqrt{3}y$$

Subtraher 48 fra 49 for at få 1.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{1}=x+\sqrt{3}y$$

Hvad som helst divideret med én er lig med sig selv.

$$\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)=x+\sqrt{3}y$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5+2\sqrt{3} med 7-4\sqrt{3}, og kombiner ens led.

$$35-6\sqrt{3}-8\left(\sqrt{3}\right)^{2}=x+\sqrt{3}y$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$35-6\sqrt{3}-8\times 3=x+\sqrt{3}y$$

Multiplicer -8 og 3 for at få -24.

$$35-6\sqrt{3}-24=x+\sqrt{3}y$$

Subtraher 24 fra 35 for at få 11.

$$11-6\sqrt{3}=x+\sqrt{3}y$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$x+\sqrt{3}y=11-6\sqrt{3}$$

Subtraher x fra begge sider.

$$\sqrt{3}y=11-6\sqrt{3}-x$$

Ligningen er nu i standardform.

$$\sqrt{3}y=-x+11-6\sqrt{3}$$

Divider begge sider med \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}y}{\sqrt{3}}=\frac{-x+11-6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Division med \sqrt{3} annullerer multiplikationen med \sqrt{3}.

$$y=\frac{-x+11-6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Divider -6\sqrt{3}-x+11 med \sqrt{3}.

$$y=\frac{\sqrt{3}\left(-x+11-6\sqrt{3}\right)}{3}$$

Løs for x

$$x=-\sqrt{3}y+11-6\sqrt{3}$$