Løs 4/x-1+2/x+1=3

$$\frac { 4 } { x - 1 } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Løs for x

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1\approx 2,632993162$$

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1\approx -0,632993162$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x-1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 4.

$$4x+4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 2.

$$4x+4+2x-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner 4x og 2x for at få 6x.

$$6x+4-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Subtraher 2 fra 4 for at få 2.

$$6x+2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med x-1.

$$6x+2=\left(3x-3\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-3 med x+1, og kombiner ens led.

$$6x+2=3x^{2}-3$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$6x+2-3x^{2}=-3$$

Tilføj 3 på begge sider.

$$6x+2-3x^{2}+3=0$$

Tilføj 2 og 3 for at få 5.

$$6x+5-3x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+6x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 6 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+60}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 36 til 60.

$$x=\frac{-6±\sqrt{96}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 96.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{-6} når ± er plus. Adder -6 til 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}-6}{-6}$$

Divider -6+4\sqrt{6} med -6.

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{-6} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{6} fra -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-6}{-6}$$

Divider -6-4\sqrt{6} med -6.

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1 x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x-1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 4.

$$4x+4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 2.

$$4x+4+2x-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner 4x og 2x for at få 6x.

$$6x+4-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Subtraher 2 fra 4 for at få 2.

$$6x+2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med x-1.

$$6x+2=\left(3x-3\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-3 med x+1, og kombiner ens led.

$$6x+2=3x^{2}-3$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$6x+2-3x^{2}=-3$$

Subtraher 2 fra begge sider.

$$6x-3x^{2}=-3-2$$

Subtraher 2 fra -3 for at få -5.

$$6x-3x^{2}=-5$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+6x=-5$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+6x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{6}{-3}x=-\frac{5}{-3}$$

Divider 6 med -3.

$$x^{2}-2x=-\frac{5}{-3}$$

Divider -5 med -3.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{3}$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{3}+1$$

Adder \frac{5}{3} til 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{8}{3}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{8}{3}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{3}}$$

Forenkling.

$$x-1=\frac{2\sqrt{6}}{3} x-1=-\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$