Løs 4/x-4/x+2=1

$$\frac { 4 } { x } - \frac { 4 } { x + 2 } = 1$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 4-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med 4.

$$4x+8-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+2.

$$4x+8-x\times 4=x^{2}+2x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}=2x$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}-2x=0$$

Kombiner 4x og -2x for at få 2x.

$$2x+8-x\times 4-x^{2}=0$$

Multiplicer -1 og 4 for at få -4.

$$2x+8-4x-x^{2}=0$$

Kombiner 2x og -4x for at få -2x.

$$-2x+8-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}-2x+8=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+8. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-2 ab=-8=-8$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -8.

$$1,-8 2,-4$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Løsningen er det par, der får summen -2.

$$a=2 b=-4$$

Omskriv -x^{2}-2x+8 som \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-4x+8\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-4x+8\right)$$

Udx i den første og 4 i den anden gruppe.

$$x\left(-x+2\right)+4\left(-x+2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+2\right)\left(x+4\right)$$

Løs -x+2=0 og x+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 4-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med 4.

$$4x+8-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+2.

$$4x+8-x\times 4=x^{2}+2x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}=2x$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}-2x=0$$

Kombiner 4x og -2x for at få 2x.

$$2x+8-x\times 4-x^{2}=0$$

Multiplicer -1 og 4 for at få -4.

$$2x+8-4x-x^{2}=0$$

Kombiner 2x og -4x for at få -2x.

$$-2x+8-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}-2x+8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -2 med b og 8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 4 til 32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±6}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{2±6}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±6}{-2} når ± er plus. Adder 2 til 6.

$$x=\frac{8}{-2}$$

Divider 8 med -2.

$$x=-4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±6}{-2} når ± er minus. Subtraher 6 fra 2.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divider -4 med -2.

$$x=2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-4 x=2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 4-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med 4.

$$4x+8-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+2.

$$4x+8-x\times 4=x^{2}+2x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}=2x$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}-2x=0$$

Kombiner 4x og -2x for at få 2x.

$$2x+8-x\times 4-x^{2}=0$$

Subtraher 8 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$2x-x\times 4-x^{2}=-8$$

Multiplicer -1 og 4 for at få -4.

$$2x-4x-x^{2}=-8$$

Kombiner 2x og -4x for at få -2x.

$$-2x-x^{2}=-8$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}-2x=-8$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{8}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{8}{-1}$$

Divider -2 med -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{8}{-1}$$

Divider -8 med -1.

$$x^{2}+2x=8$$

Divider 2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 1. Adder derefter kvadratet af 1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=8+1^{2}$$

Kvadrér 1.

$$x^{2}+2x+1=8+1$$

Adder 8 til 1.

$$x^{2}+2x+1=9$$

Faktor x^{2}+2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+1\right)^{2}=9$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkling.

$$x+1=3 x+1=-3$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-4$$