Løs 3x+10/x-2[9x-4/3-3(x/2+7x-6/4)]=frac{7x+5}{2}

$$\frac { 3 x + 10 } { x } - 2 [ \frac { 9 x - 4 } { 3 } - 3 ( \frac { x } { 2 } + \frac { 7 x - 6 } { 4 } ) ] = \frac { 7 x + 5 } { 2 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48}\approx 0,729166667+1,402966846i$$

$$x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}\approx 0,729166667-1,402966846i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med 0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 12x, det mindste fælles multiplum af x,3,2,4.

$$12\left(3x+10\right)-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 12 med 3x+10.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Mindste fælles multiplum for 2 og 4 er 4. Multiplicer \frac{x}{2} gange \frac{2}{2}.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{2x}{4}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Da \frac{2x}{4} og \frac{7x-6}{4} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{2x+7x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Kombiner ens led i 2x+7x-6.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{9x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Udtryk 3\times \frac{9x-6}{4} som en enkelt brøk.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{3\left(9x-6\right)}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med 9x-6.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{27x-18}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Mindste fælles multiplum for 3 og 4 er 12. Multiplicer \frac{9x-4}{3} gange \frac{4}{4}. Multiplicer \frac{27x-18}{4} gange \frac{3}{3}.

$$36x+120-2\left(\frac{4\left(9x-4\right)}{12}-\frac{3\left(27x-18\right)}{12}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Eftersom \frac{4\left(9x-4\right)}{12} og \frac{3\left(27x-18\right)}{12} har den samme fællesnævner, kan du trække dem fra dem ved at trække deres tællere fra.

$$36x+120-2\times \frac{4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right)}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Lav multiplikationerne i 4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right).

$$36x+120-2\times \frac{36x-16-81x+54}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Kombiner ens led i 36x-16-81x+54.

$$36x+120-2\times \frac{-45x+38}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Multiplicer 2 og 12 for at få 24.

$$36x+120-24\times \frac{-45x+38}{12}x=6x\left(7x+5\right)$$

Ophæv den største fælles faktor 12 i 24 og 12.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=6x\left(7x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 6x med 7x+5.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=42x^{2}+30x$$

Subtraher 42x^{2} fra begge sider.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}=30x$$

Subtraher 30x fra begge sider.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}-30x=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2 med -45x+38.

$$36x+120+\left(90x-76\right)x-42x^{2}-30x=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 90x-76 med x.

$$36x+120+90x^{2}-76x-42x^{2}-30x=0$$

Kombiner 36x og -76x for at få -40x.

$$-40x+120+90x^{2}-42x^{2}-30x=0$$

Kombiner 90x^{2} og -42x^{2} for at få 48x^{2}.

$$-40x+120+48x^{2}-30x=0$$

Kombiner -40x og -30x for at få -70x.

$$-70x+120+48x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$48x^{2}-70x+120=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 48 med a, -70 med b og 120 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 48\times 120}}{2\times 48}$$

Kvadrér -70.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 48\times 120}}{2\times 48}$$

Multiplicer -4 gange 48.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-192\times 120}}{2\times 48}$$

Multiplicer -192 gange 120.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-23040}}{2\times 48}$$

Adder 4900 til -23040.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{-18140}}{2\times 48}$$

Tag kvadratroden af -18140.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±2\sqrt{4535}i}{2\times 48}$$

Det modsatte af -70 er 70.

$$x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{2\times 48}$$

Multiplicer 2 gange 48.

$$x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{96}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{96} når ± er plus. Adder 70 til 2i\sqrt{4535}.

$$x=\frac{70+2\sqrt{4535}i}{96}$$

Divider 70+2i\sqrt{4535} med 96.

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{96} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{4535} fra 70.

$$x=\frac{-2\sqrt{4535}i+70}{96}$$

Divider 70-2i\sqrt{4535} med 96.

$$x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48} x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med 0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 12x, det mindste fælles multiplum af x,3,2,4.

$$12\left(3x+10\right)-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 12 med 3x+10.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Mindste fælles multiplum for 2 og 4 er 4. Multiplicer \frac{x}{2} gange \frac{2}{2}.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{2x}{4}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Da \frac{2x}{4} og \frac{7x-6}{4} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{2x+7x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Kombiner ens led i 2x+7x-6.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{9x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Udtryk 3\times \frac{9x-6}{4} som en enkelt brøk.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{3\left(9x-6\right)}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med 9x-6.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{27x-18}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Mindste fælles multiplum for 3 og 4 er 12. Multiplicer \frac{9x-4}{3} gange \frac{4}{4}. Multiplicer \frac{27x-18}{4} gange \frac{3}{3}.

$$36x+120-2\left(\frac{4\left(9x-4\right)}{12}-\frac{3\left(27x-18\right)}{12}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Eftersom \frac{4\left(9x-4\right)}{12} og \frac{3\left(27x-18\right)}{12} har den samme fællesnævner, kan du trække dem fra dem ved at trække deres tællere fra.

$$36x+120-2\times \frac{4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right)}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Lav multiplikationerne i 4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right).

$$36x+120-2\times \frac{36x-16-81x+54}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Kombiner ens led i 36x-16-81x+54.

$$36x+120-2\times \frac{-45x+38}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Multiplicer 2 og 12 for at få 24.

$$36x+120-24\times \frac{-45x+38}{12}x=6x\left(7x+5\right)$$

Ophæv den største fælles faktor 12 i 24 og 12.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=6x\left(7x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 6x med 7x+5.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=42x^{2}+30x$$

Subtraher 42x^{2} fra begge sider.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}=30x$$

Subtraher 30x fra begge sider.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}-30x=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2 med -45x+38.

$$36x+120+\left(90x-76\right)x-42x^{2}-30x=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 90x-76 med x.

$$36x+120+90x^{2}-76x-42x^{2}-30x=0$$

Kombiner 36x og -76x for at få -40x.

$$-40x+120+90x^{2}-42x^{2}-30x=0$$

Kombiner 90x^{2} og -42x^{2} for at få 48x^{2}.

$$-40x+120+48x^{2}-30x=0$$

Kombiner -40x og -30x for at få -70x.

$$-70x+120+48x^{2}=0$$

Subtraher 120 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$-70x+48x^{2}=-120$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$48x^{2}-70x=-120$$

Divider begge sider med 48.

$$\frac{48x^{2}-70x}{48}=-\frac{120}{48}$$

Division med 48 annullerer multiplikationen med 48.

$$x^{2}+\left(-\frac{70}{48}\right)x=-\frac{120}{48}$$

Reducer fraktionen \frac{-70}{48} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x=-\frac{120}{48}$$

Reducer fraktionen \frac{-120}{48} til de laveste led ved at udtrække og annullere 24.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x=-\frac{5}{2}$$

Divider -\frac{35}{24}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{35}{48}. Adder derefter kvadratet af -\frac{35}{48} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x+\left(-\frac{35}{48}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{35}{48}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{35}{48} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x+\frac{1225}{2304}=-\frac{5}{2}+\frac{1225}{2304}$$

Føj -\frac{5}{2} til \frac{1225}{2304} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x+\frac{1225}{2304}=-\frac{4535}{2304}$$

Faktor x^{2}-\frac{35}{24}x+\frac{1225}{2304}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{35}{48}\right)^{2}=-\frac{4535}{2304}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{48}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4535}{2304}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{35}{48}=\frac{\sqrt{4535}i}{48} x-\frac{35}{48}=-\frac{\sqrt{4535}i}{48}$$

Adder \frac{35}{48} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48} x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}$$