Løs frac{21sqrt{15}}{512+5sqrt{3}}

$$\frac { 21 \sqrt { 15 } } { 512 + 5 \sqrt { 3 } }$$

Evaluer

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}\approx 0,156210599$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{21\sqrt{15}}{512+5\sqrt{3}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{\left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right)}$$

Overvej \left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{512^{2}-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Beregn 512 til potensen af 2, og få 262144.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Udvid \left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Beregn 5 til potensen af 2, og få 25.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\times 3}$$

Multiplicer 25 og 3 for at få 75.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-75}$$

Subtraher 75 fra 262144 for at få 262069.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262069}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 21\sqrt{15} med 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{15}}{262069}$$

Faktoriser 15=3\times 5. Omskriv kvadratroden af produktet \sqrt{3\times 5} som produktet af kvadratrødderne \sqrt{3}\sqrt{5}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}}{262069}$$

Multiplicer \sqrt{3} og \sqrt{3} for at få 3.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\times 3\sqrt{5}}{262069}$$

Multiplicer -105 og 3 for at få -315.

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}$$